Пусть f(x) опред на [a;+∞) и интегрируема в любой конечной его части [a;R] так, что существует определенный интеграл
∃
Если при R→+∞ для этого интеграла существует определенный конечный предел, то его называют несобственным интегралом ф-ии f(x) в промежутке [a;+∞).
(1)- несобственный интеграл 1ого порядка
При интегрировании говорят, что интеграл существует, те сходится, если lim бесконечен или не существует, то про интеграл говорят, что он не существует или расходится
— при условии, что оба интеграла сходятся
Несобственный интеграл от неограниченной ф-ии
f
(x) опр. [a,b)
Пусть на любом отрезке[a,b—?] ф-я интегрируема, те существуетопределенный интеграл
∃
, ∀?>0, b—?>a
Если для интеграла 
при ?→0 существует конечный lim, то его называют интегралом 2ого порядка.
Если 
есть, то интеграл существует (сходится), если нет, то расходится.
1)признак сравнения несобственных инт.
2)если f(x)g(x)—неотрицательные ф-ии и существует конечный предел их отношения при x→+∞,то несобственные интегралы 
сходятся и расходятся одновременно
3)частный признак сравнения.
Если x→+∞ неопр. ф-я f(x) является б.малой порядка ?(?>0), то 
сходится при ?>1 и расходится при ?≤1.
2.Если ф-я определена для всех x≥a и 
то 
сходится абсолютно. Если сходится условно, то
39. Дифференциальное уравнение и его решение. Примеры. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения дифференциального уоавнения первого порядка с геометрической интерпретацией.
ДУ- ур-е, в котором неизвестная ф-я или вектор-ф-я входит под знаком производной или дифференциала.
1)Обыкновенные ДУ, в котором неизвестные являются ф-ей 1ой переменной
2)ДУ в частных производных, в которых неизвестные ф-ии являются ф-ями 2х и более переменных.
Порядок ДУ- порядок старшей входящей в ДУ неизвестной ф-ии.
Решением обыкновенного ДУ n-ого порядка , те ур-я вида
называется ф-я y=?(x),которая при подстановке в ДУ обращает его в тождество.
График решения ДУ называется интегральной кривой.
Решение ДУ- интегрирование ДУ. Задача интегрирование- нахождение всех решении этого ур-я и изучении их св-в.
ДУ 1ого порядка- ур-е вида F(x, y, y’)=0, где x— независимая переменная, y- искомая ф-я, y’- ее производная.
Если его можно разрешить относительно y’, то y’= dy/dx =f(x,y)- ур-е 1ого порядка, разрешенное относительно производной.
Теорема Коши(Теорема о существованиии единственности решения ДУ 1ого порядка)
Если ф-я f(x,y) и ее частная приизводня f’y(x,y) определены и непрерывны в некоторой области G плоскости oxy, то какова бы не была внутренняя точка (x0, y0) области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение ур-я y’= f(x,y), удовлетворяющее условиям y=y0, x=x0
Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку (y0, x0) области G проходит единственная интегральная кривая.
источник
Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку(1 рода). Пусть функция f(x) определена на полуоси 
и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла 
при 
называется несобственным интегралом функции f(x) от a до 
и обозначается 
.
Итак, по определению, 
. Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.
Определение несобственного интеграла от неограниченной функции.(2 рода).Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку 
, и имеет бесконечный предел при 
. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется предел 
. Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9625 — 
| 7582 — 
или читать все.
95.83.9.166 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
источник
(от неограниченных функций)
Обобщим понятие определенного интеграла на случай подынтегральной функции, неограниченной на промежутке интегрирования.
Определение. Несобственным интегралом второго рода от функции 
, непрерывной на промежутке 
и имеющей бесконечный разрыв при 
, называется предел определенного интеграла 
с переменным верхним пределом 
при 
:
.
Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предел не существует, то расходящимся.
Из определения и рис. 3.2 следует геометрический смысл несобственного интеграла второго рода: несобственный интеграл второго рода от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции с бесконечно длинной высотой.
Рис. 3.2. Геометрический смысл несобственного интеграла второго рода
Аналогично вводится несобственный интеграл второго рода от функции , непрерывной на промежутке 
и имеющей бесконечный разрыв при 
:
.
Можно определить и несобственный интеграл второго рода от функции , имеющей бесконечный разрыв в некоторой внутренней точке с промежутка 
:
.
,
т.е. данный интеграл сходится.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8699 — | 7452 — или читать все.
95.83.9.166 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
источник
(с бесконечными пределами)
Обобщим понятие определенного интеграла на случай бесконечного промежутка интегрирования.
Определение. Несобственным интегралом первого рода от функции , непрерывной на промежутке 
, называется предел определенного интеграла 
с переменным верхним пределом R при 
:
.
Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предел не существует, то расходящимся.
Из определения и рис. 3.1 следует геометрический смысл несобственного интеграла первого рода: несобственный интеграл первого рода от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции с бесконечно длинным основанием.
Рис. 3.1. Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода
Аналогично вводится несобственный интеграл первого рода по промежутку 
:
.
Можно определить и несобственный интеграл первого рода с двумя бесконечными пределами, т.е. по промежутку 
:
,
т.е. данный интеграл сходится.
т.е. данный интеграл расходится, так как предел функции 
при не существует.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9625 — | 7582 — или читать все.
95.83.9.166 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
источник
К изучению несобственных интегралов лучше приступать в последнюю очередь в ходе изучения интегрального исчисления функции одной переменной. Читатель данного урока должен быть хорошо подкован в неопределенных интегралах, определенных интегралах, уметь находить площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла. Кроме того, потребуются знания простейших пределов и графиков элементарных функций. По логике изложения материала эта статья является продолжением урока Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры.
Вы еще здесь? =) Нет, я никого не пытался запугать, просто тема несобственных интегралов – очень хорошая иллюстрация тому, как важно не запускать высшую математику и другие точные науки. Для освоения урока на сайте всё есть – в подробной и доступной форме, было бы желание….
Итак, начнем-с. Образно говоря, несобственный интеграл – это «продвинутый» определенный интеграл, и на самом деле сложностей с ними не так уж и много, к тому же у несобственного интеграла есть очень хороший геометрический смысл.
Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (то есть, получить в итоге бесконечность вместо числа).
Несобственные интегралы бывают двух видов.
Иногда такой несобственный интеграл называют несобственным интегралом первого рода. В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: 
. В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: 
.
Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом 
или с двумя бесконечными пределами: 
, и их мы рассмотрим позже – когда войдёте во вкус 🙂
Ну а сейчас разберём самый популярный случай 
. В подавляющем большинстве примеров подынтегральная функция 
непрерывна на промежутке 
, и этот важный факт следует проверять в первую очередь! Ибо если есть разрывы, то есть дополнительные нюансы. Для определённости предположим, что 
и тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так:
Обратите внимание, что она бесконечна (не ограничена справа), и несобственный интеграл 
численно равен её площади. При этом возможны следующие варианты:
1) Первая мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то 
», иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что несобственный интеграл расходится.
2) Но. Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: 
. Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится.
3) О третьем варианте чуть позже.
В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции 
, и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.
А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл 
(расходится) либо равен конечному отрицательному числу.
Таким образом, несобственный интеграл может быть отрицательным.
Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно. Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.
Коль скоро, несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: 
. На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: 
. Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: 
.
В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию 
(неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела. У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений, ибо лучше поздно, чем в армии.
Рассмотрим два классических примера:
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. 
Для наглядности я построю чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно.
Подынтегральная функция 
непрерывна на полуинтервале 
, значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.
Применение нашей формулы 
и решение задачи выглядит так:
То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.
В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применятся эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы 
«динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».
Если Вам не понятно почему 
при 
, то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции. Во втором случае посетите урок Графики и свойства элементарных функций.
При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!
Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:
“ 
Подынтегральная функция непрерывна на 
Несобственный интеграл расходится.
“
! При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функцией – непрерывна она на промежутке интегрирования или нет. Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла и обосновываем дальнейшие действия.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. 
Выполним чертеж: 
Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция 
непрерывна на полуинтервале 
. Гуд. Решаем с помощью формулы 
:
(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.
(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.
(3) Указываем, что 
при 
(Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.
Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.
Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:
“ 
Подынтегральная функция непрерывна на 
“
Что делать, если вам встретится интеграл наподобие 
– с точкой разрыва 
на интервале интегрирования? Это говорит о том, что в примере опечатка (вероятнее всего), либо о продвинутом уровне обучения. В последнем случае, в силу свойства аддитивности, следует рассмотреть два несобственных интеграла на промежутках 
и 
и затем разобраться с суммой.
Иногда вследствие опечатки либо умысла несобственного интеграла может вовсе не существовать, так, например, если в знаменатель вышеуказанного интеграла поставить квадратный корень из «икс», то часть промежутка интегрирования вообще не войдёт в область определения подынтегральной функции.
Более того, несобственного интеграла может не существовать даже при всём «видимом благополучии». Классический пример: 
. Несмотря на определённость и непрерывность косинуса, такого несобственного интеграла не существует! Почему? Всё очень просто, потому что:
– не существует соответствующего предела.
И такие примеры пусть редко, но встречаются на практике! Таким образом, помимо сходимости и расходимости, есть ещё и третий исход решения с полноправным ответом: «несобственного интеграла не существует».
Следует также отметить, что строгое определение несобственного интеграла даётся именно через предел, и желающие могут ознакомиться с ним в учебной литературе. Ну а мы продолжаем практическое занятие и переходим к более содержательным задачам:
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. 
Подынтегральная функция непрерывна на 
.
Интеграл не так прост, особенно для чайника. Что делать, если интеграл кажется не самым простым или не сразу понятно как его решать? В этом случае целесообразно применить алгоритм, о котором я уже рассказал в статье Определенный интеграл. Примеры решений.
Сначала попытаемся найти первообразную функцию 
(неопределенный интеграл). Если нам не удастся этого сделать, то несобственный интеграл мы, естественно, тоже не решим.
На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: 
. Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.
Проведем замену: 
Неопределенный интеграл найден, константу 
в данном случае добавлять не имеет смысла.
На черновике всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден правильно.
Теперь находим несобственный интеграл:
(1) Записываем решение в соответствии с формулой 
. Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.
(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница. Почему 
при 
? Смотрите график арктангенса в уже неоднократно рекомендованной статье.
(3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что 
полезно знать наизусть.
Продвинутые студенты могут не находить отдельно неопределенный интеграл, и не использовать метод замены, а использовать метод подведения функции под знак дифференциала и решать несобственный интеграл «сразу». В этом случае решение должно выглядеть примерно так:
“ 
Подынтегральная функция непрерывна на 
. 
“
А сейчас два примера для самостоятельного решения.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. 
! Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата, более подробно с методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. 
Этот интеграл можно решить подробно, то есть сначала найти неопределенный интеграл, проведя замену переменной. А можно решить «сразу» – подведением функции под знак дифференциала. У кого какая математическая подготовка.
Полные решения и ответы в конце урока.
Примеры решений несобственных интегралов с бесконечным нижним пределом интегрирования можно посмотреть на странице Эффективные методы решения несобственных интегралов. Там же разобран случай, когда оба предела интегрирования бесконечны.
Или несобственные интегралами второго рода. Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: 
Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция 
терпит бесконечный разрыв (не существует): 1) в точке 
, 2) или в точке 
, 3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка на дополнительный урок.
Если подынтегральной функции не существует в точке 
Сразу пример, чтобы было понятно: 
. Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего предела 
, то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!
Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования. В этой связи проверим и верхний предел: 
. Здесь всё хорошо.
Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:
Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.
Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта*: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конечному числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).
* по умолчанию привычно полагаем, что несобственный интеграл существует
Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению 
справа. Легко проследить по чертежу: по оси 
мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва справа.
Посмотрим, как это реализуется на практике.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. 
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке 
(не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!)
Сначала вычислим неопределенный интеграл:
Замена: 
У кого возникли трудности с заменой, обратитесь к уроку Метод замены в неопределенном интеграле.
Вычислим несобственный интеграл:
(1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: 
. Добавка 
обозначает, что мы стремимся к значению 
справа (что логично – см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом. В данном случае у нас правосторонний предел.
(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.
(3) Разбираемся с 
при 
. Как определить, куда стремится выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение 
, подставляем три четверти и указываем, что 
. Причесываем ответ.
В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу. В этом никакого криминала нет, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью 
.
А сейчас два примера для самостоятельного решения.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. 
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. 
Если подынтегральной функции не существует в точке 
Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом:
Здесь всё абсолютно так же, за исключением того, что предел у нас стремится к значению 
слева. По оси 
мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва слева.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке 
(устно проверяем, что с другим пределом интегрирования всё нормально!).
Для разнообразия я решу этот интеграл сразу – методом подведения функции под знак дифференциала. Те, кому трудно, могут сначала найти неопределенный интеграл по уже рассмотренной схеме.
Добавка 
обозначает, что предел у нас левосторонний, и к точке 
мы приближаемся по оси 
слева.
Разбираемся, почему дробь 
(это лучше делать устно или на черновике).
Подставляем под корень предельное значение 
:
и тогда
Окончательно:
Несобственный интеграл расходится.
Будьте очень внимательны в знаках. Да, конечно, несобственный интеграл расходится, но 
и 
– это разные вещи, разные жанры, и если Вы недосмотрите за знаками, то, строго говоря, допустите серьезную ошибку.
И заключительные два примера для самостоятельного рассмотрения:
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Разбор ситуации, когда оба предела интегрирования «плохие», или точка разрыва содержится прямо на отрезке интегрирования, можно найти в статье Эффективные методы решения несобственных интегралов.
Пример 4: Решение:
Подынтегральная функция непрерывна на 
. 
Пример 5: Решение: 
Подынтегральная функция непрерывна на 
. 
Несобственный интеграл расходится.
Пример 7: Решение: 
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке 
Несобственный интеграл расходится.
Примечание: с пределом выражения 
можно разобраться следующим образом: вместо 
подставляем 
: 
Пример 8: Решение: 
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке 
Примечание: Разбираемся в пределе выражения 
. Если 
, то 
(см. график логарифмической функции!), тогда: 
. Именно эти соображения и помечаются как 
Пример 10: Решение: 
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке 
Пример 11: Решение: 
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке 
Несобственный интеграл расходится
Примечание: Разбираемся в пределе выражения 
. Если 
, то 
, и тогда 
. Будьте очень внимательны в знаках!
(Переход на главную страницу)
источник